FATORAÇÃO

Fatoração pelo fator comum em evidência
Considere o polinômio 14ab + 7bc, seu fator comum em evidência é 7b, dividindo cada termo do polinômio pelo fator comum em evidência 14ab:7b = 2a e 7bc:7b = c, a forma fatorada de um polinômio pelo fator comum em evidência é igual ao produto do fator comum em evidência pelo polinômio obtido da divisão de cada termo do polinômio, logo a forma fatorada de 14ab + 7bc = 7b.(2a + c). O fator comum em evidência pode ser aplicado em todos os termos do polinômio.
Outros exemplos
15x + 9y = 3.(5x + 3y)
Falhou ao verificar gramática (Erro léxico): 50-10y=10.(5-y)ab-b^2+2a-2b . Este polinômio não possui um fator comum para ser aplicado em todo o mesmo, a solução é fazer pequenos grupos de polinômios à partir do polinômio principal, veja:
ab − b2 + 2a − 2b = (ab − b2) + (2a − 2b), logo podemos fatorar os pequenos grupos formados do polinômio principal:
ab − b2 = b(a − b)
2a − 2b = 2(a − b), obtemos a fatoração de ab − b2 + 2a − 2b = b(a − b) + 2(a − b), nota-se que os termos entre parênteses são iguais, permitindo uma nova aplicação do fator comum em evidência: (a − b)(b + 2). A forma fatorada de ab − b2 + 2a − 2b = b(a − b) + 2(a − b) = (a − b)(b + 2).
Outro exemplo:
a4 − a5 + a2b − a3b = a2(a2 − a3) + b(a2 − a3) = (a2 − a3)(a2 + b)

Fatoração da diferença de dois quadrados
Considere o polinômio m2 − n2, que é uma diferença de dois quadrados, para fatorar o mesmo devemos obter a raiz quadrada do primeiro termo menos a raiz quadrada do segundo termo , logo temos , devemos, agora, multiplicar o polinômio resultante das raizes dos termos iniciais pelo seu oposto: (m − n).(m + n), logo a fatoração da diferença de dois quadrados é igual à raiz quadrada do primeiro termo menos a raiz quadrada do segundo termo vezes o oposto: , ou simplesmente m2 − n2 = (m − n).(m + n).
Outros exemplos:
(n + 8)2 − 1 = [(n + 8) + 1].[(n + 8) − 1] = [n + 8 + 1].[n + 8 − 1] = [n + 9].[n + 7]
a4 − b4 = (a2 + b2).(a2 − b2) = (a − b).(a + b).(a2 + b2)

Fatoração do trinômio quadrado perfeito
Considere o polinômio 4x2 + 4xy + y2, que é um trinômio quadrado perfeito, pois representa (2x + y)2, mas como saber se um trinômio é ou não quadrado perfeito?
Ainda considerando o polinômio 4x2 + 4xy + y2, vamos obter a raiz quadrada do primeiro termo e a raiz quadrada do terceiro termo , finalmente multiplicamos por dois o produto das raízes para verificar se o resultado é igual ao segundo termo do polinômio (4xy): 2.2x.y = 4xy, o resultado é igual ao segundo termo do polinômio, logo o mesmo é um trinômio quadrado perfeito e sua forma fatorada é 4x2 + 4xy + y2 = (2x + y)2.
Outro exemplo:
ou x2 − 8xy + 16y2 = (x − 4y)2

Fatoração da soma ou da diferença de dois cubos
Observe a multiplicação resolvida através da propriedade distributiva:
(a + b).(a2 − ab + b2) = a3 − a2b + ab2 + a2b − ab2 + b3 = a3 + b3, tendo este cálculo como base, podemos dizer que a3 + b3 = (a + b).(a2 − ab + b2), logo, a fatoração do polinômio a3 + b3 é igual à raiz cúbica do primeiro termo , mais a raiz cúbica do segundo termo vezes o quadrado do primeiro termo a2, o produto dos dois termos com o sinal oposto − ab mais o quadrado do segundo termo b2, formando:a3 + b3 = (a + b).(a2 − ab + b2).
Outros exemplos:
x3 − y3 = (x − y).(x2 + xy + y2)

Fatoração do trinômio do segundo grau
Observe o trinômio x2 − 2x − 35, cuja forma fatorada é (x − 7).(x + 5), para realizar sua fatoração devemos obter dois números que somados dêem o coeficiente do segundo termo do polinômio (-2x) e multiplicados dêem o terceiro termo do polinômio (-35), e escrevê-los como produto de dois termos entre parênteses, veja outros exemplos:
a2 + 8a + 12 = (a + 2).(a + 6)
x2 − 15x − 100 = (x − 20).(x + 5)

Fatoração completa
A fatoração completa implica na união de todos os métodos de fatoração de polinômios para tornar um polinômio fatorado ao máximo, ou seja, que não pode ser mais fatorado. Considere o polinômio x4 − y4, que é a diferença de dois quadrados, fatorando-o temos: x4 − y4 = (x2 − y2).(x2 + y2), note que o primeiro termo da fatoração [(x2 − y2)] é uma diferença de dois quadrados, devemos fatora-lo: x4 − y4 = (x2 − y2).(x2 + y2) = (x − y).(x + y).(x2 + y2), assim, temos a fatoração completa do polinômio x4 − y4.
Outros exemplos:
3x2 − 6x + 3 = 3.(x2 − 2x + 1) = 3.(x − 1)2

Fatoração por artifício
Em alguns casos, a fatoração só é possível com a utilização de algum artifício. Exemplo;
Fatore a expressão algébrica: x4 + 4x2y2 + 16y4.
(x4 + 4x2y2 + 16y4 + 4x2y2) − 4x2y2 =
x4 + 8x2y2 + 16y4 − 4x2y2 = (x2 + 4y2)2 − 4x2y2 = (x2 + 4y2 + 2xy)(x2 + 4y2 − 2xy)
Artifício utilizado: Adicionamos e subtraímos o termo 4x2y2, não alterando, assim, o valor da expressão e possibilitando a obtenção de trinômio quadrado perfeito para a realização da expressão.
Outro exemplo:
Artifício utilizado: soma-se e subtrai-se , obtendo-se logo em seguida uma soma de cubos:
Polinômios irredutíveis
Alguns polinômios não podem ser fatorados, estes são chamados de polinômios irredutíveis. Por exemplo, o polinômio é irredutível, pelo critério de Eisenstein, com p = 2. Note-se, porém, que a irreducibilidade está sempre condicionada ao corpo considerado; pelo teorema fundamental da álgebra, todo polinômio tem uma raiz, portanto este polinômio pode ser escrito como , sendo uma raiz.