FATORAÇÃO

Fatoração pelo fator comum em evidência
Considere o polinômio 14ab + 7bc, seu fator comum em evidência é 7b, dividindo cada termo do polinômio pelo fator comum em evidência 14ab:7b = 2a e 7bc:7b = c, a forma fatorada de um polinômio pelo fator comum em evidência é igual ao produto do fator comum em evidência pelo polinômio obtido da divisão de cada termo do polinômio, logo a forma fatorada de 14ab + 7bc = 7b.(2a + c). O fator comum em evidência pode ser aplicado em todos os termos do polinômio.
Outros exemplos
15x + 9y = 3.(5x + 3y)
Falhou ao verificar gramática (Erro léxico): 50-10y=10.(5-y)ab-b^2+2a-2b . Este polinômio não possui um fator comum para ser aplicado em todo o mesmo, a solução é fazer pequenos grupos de polinômios à partir do polinômio principal, veja:
ab − b2 + 2a − 2b = (ab − b2) + (2a − 2b), logo podemos fatorar os pequenos grupos formados do polinômio principal:
ab − b2 = b(a − b)
2a − 2b = 2(a − b), obtemos a fatoração de ab − b2 + 2a − 2b = b(a − b) + 2(a − b), nota-se que os termos entre parênteses são iguais, permitindo uma nova aplicação do fator comum em evidência: (a − b)(b + 2). A forma fatorada de ab − b2 + 2a − 2b = b(a − b) + 2(a − b) = (a − b)(b + 2).
Outro exemplo:
a4 − a5 + a2b − a3b = a2(a2 − a3) + b(a2 − a3) = (a2 − a3)(a2 + b)

Fatoração da diferença de dois quadrados
Considere o polinômio m2 − n2, que é uma diferença de dois quadrados, para fatorar o mesmo devemos obter a raiz quadrada do primeiro termo menos a raiz quadrada do segundo termo , logo temos , devemos, agora, multiplicar o polinômio resultante das raizes dos termos iniciais pelo seu oposto: (m − n).(m + n), logo a fatoração da diferença de dois quadrados é igual à raiz quadrada do primeiro termo menos a raiz quadrada do segundo termo vezes o oposto: , ou simplesmente m2 − n2 = (m − n).(m + n).
Outros exemplos:
(n + 8)2 − 1 = [(n + 8) + 1].[(n + 8) − 1] = [n + 8 + 1].[n + 8 − 1] = [n + 9].[n + 7]
a4 − b4 = (a2 + b2).(a2 − b2) = (a − b).(a + b).(a2 + b2)

Fatoração do trinômio quadrado perfeito
Considere o polinômio 4x2 + 4xy + y2, que é um trinômio quadrado perfeito, pois representa (2x + y)2, mas como saber se um trinômio é ou não quadrado perfeito?
Ainda considerando o polinômio 4x2 + 4xy + y2, vamos obter a raiz quadrada do primeiro termo e a raiz quadrada do terceiro termo , finalmente multiplicamos por dois o produto das raízes para verificar se o resultado é igual ao segundo termo do polinômio (4xy): 2.2x.y = 4xy, o resultado é igual ao segundo termo do polinômio, logo o mesmo é um trinômio quadrado perfeito e sua forma fatorada é 4x2 + 4xy + y2 = (2x + y)2.
Outro exemplo:
ou x2 − 8xy + 16y2 = (x − 4y)2

Fatoração da soma ou da diferença de dois cubos
Observe a multiplicação resolvida através da propriedade distributiva:
(a + b).(a2 − ab + b2) = a3 − a2b + ab2 + a2b − ab2 + b3 = a3 + b3, tendo este cálculo como base, podemos dizer que a3 + b3 = (a + b).(a2 − ab + b2), logo, a fatoração do polinômio a3 + b3 é igual à raiz cúbica do primeiro termo , mais a raiz cúbica do segundo termo vezes o quadrado do primeiro termo a2, o produto dos dois termos com o sinal oposto − ab mais o quadrado do segundo termo b2, formando:a3 + b3 = (a + b).(a2 − ab + b2).
Outros exemplos:
x3 − y3 = (x − y).(x2 + xy + y2)

Fatoração do trinômio do segundo grau
Observe o trinômio x2 − 2x − 35, cuja forma fatorada é (x − 7).(x + 5), para realizar sua fatoração devemos obter dois números que somados dêem o coeficiente do segundo termo do polinômio (-2x) e multiplicados dêem o terceiro termo do polinômio (-35), e escrevê-los como produto de dois termos entre parênteses, veja outros exemplos:
a2 + 8a + 12 = (a + 2).(a + 6)
x2 − 15x − 100 = (x − 20).(x + 5)

Fatoração completa
A fatoração completa implica na união de todos os métodos de fatoração de polinômios para tornar um polinômio fatorado ao máximo, ou seja, que não pode ser mais fatorado. Considere o polinômio x4 − y4, que é a diferença de dois quadrados, fatorando-o temos: x4 − y4 = (x2 − y2).(x2 + y2), note que o primeiro termo da fatoração [(x2 − y2)] é uma diferença de dois quadrados, devemos fatora-lo: x4 − y4 = (x2 − y2).(x2 + y2) = (x − y).(x + y).(x2 + y2), assim, temos a fatoração completa do polinômio x4 − y4.
Outros exemplos:
3x2 − 6x + 3 = 3.(x2 − 2x + 1) = 3.(x − 1)2

Fatoração por artifício
Em alguns casos, a fatoração só é possível com a utilização de algum artifício. Exemplo;
Fatore a expressão algébrica: x4 + 4x2y2 + 16y4.
(x4 + 4x2y2 + 16y4 + 4x2y2) − 4x2y2 =
x4 + 8x2y2 + 16y4 − 4x2y2 = (x2 + 4y2)2 − 4x2y2 = (x2 + 4y2 + 2xy)(x2 + 4y2 − 2xy)
Artifício utilizado: Adicionamos e subtraímos o termo 4x2y2, não alterando, assim, o valor da expressão e possibilitando a obtenção de trinômio quadrado perfeito para a realização da expressão.
Outro exemplo:
Artifício utilizado: soma-se e subtrai-se , obtendo-se logo em seguida uma soma de cubos:
Polinômios irredutíveis
Alguns polinômios não podem ser fatorados, estes são chamados de polinômios irredutíveis. Por exemplo, o polinômio é irredutível, pelo critério de Eisenstein, com p = 2. Note-se, porém, que a irreducibilidade está sempre condicionada ao corpo considerado; pelo teorema fundamental da álgebra, todo polinômio tem uma raiz, portanto este polinômio pode ser escrito como , sendo uma raiz.

HISTÓRIA DOS NÚMEROS

A noção de número e suas extraordinárias generalizações estão intimamente ligadas à história da humanidade. E a própria vida está impregnada de matemática: grande parte das comparações que o homem formula, assim como gestos e atitudes cotidianas, aludem conscientemente ou não a juízos aritméticos e propriedades geométricas. Sem esquecer que a ciência, a indústria e o comércio nos colocam em permanente contato com o amplo mundo da matemática.
A LINGUAGEM DOS NÚMEROS
Em todas as épocas da evolução humana, mesmo nas mais atrasadas, encontra-se no homem o sentido do número. Esta faculdade lhe permite reconhecer que algo muda em uma pequena coleção (por exemplo, seus filhos, ou suas ovelhas) quando, sem seu conhecimento direto, um objeto tenha sido retirado ou acrescentado.
O sentido do número, em sua significação primitiva e no seu papel intuitivo, não se confunde com a capacidade de contar, que exige um fenômeno mental mais complicado. Se contar é um atributo exclusivamente humano, algumas espécies de animais parecem possuir um sentido rudimentar do número. Assim opinam, pelo menos, observadores competentes dos costumes dos animais. Muitos pássaros têm o sentido do número. Se um ninho contém quatro ovos, pode-se tirar um sem que nada ocorra, mas o pássaro provavelmente abandonará o ninho se faltarem dois ovos. De alguma forma inexplicável, ele pode distinguir dois de três.
O corvo assassinado
Um senhor feudal estava decidido a matar um corvo que tinha feito ninho na torre de seu castelo. Repetidas vezes tentou surpreender o pássaro, mas em vão: quando o homem se aproximava, o corvo voava de seu ninho, colocava-se vigilante no alto de uma árvore próxima, e só voltava à torre quando já vazia. Um dia, o senhor recorreu a um truque: dois homens entraram na torre, um ficou lá dentro e o outro saiu e se foi. O pássaro não se deixou enganar e, para voltar, esperou que o segundo homem tivesse saído. O estratagema foi repetido nos dias seguintes com dois, três e quatro homens, sempre sem êxito. Finalmente, cinco homens entraram na torre e depois saíram quatro, um atrás do outro, enquanto o quinto aprontava o trabuco à espera do corvo. Então o pássaro perdeu a conta e a vida.
As espécies zoológicas com sentido do número são muito poucas (nem mesmo incluem os monos e outros mamíferos). E a percepção de quantidade numérica nos animais é de tão limitado alcance que se pode desprezá-la. Contudo, também no homem isso é verdade. Na prática, quando o homem civilizado precisa distinguir um número ao qual não está habituado, usa conscientemente ou não - para ajudar seu sentido do número - artifícios tais como a comparação, o agrupamento ou a ação de contar. Essa última, especialmente, se tornou parte tão integrante de nossa estrutura mental que os testes sobre nossa percepção numérica direta resultaram decepcionantes. Essas provas concluem que o sentido visual direto do número possuído pelo homem civilizado raras vezes ultrapassa o número quatro, e que o sentido tátil é ainda mais limitado.
Limitações vêm de longe
Os estudos sobre os povos primitivos fornecem uma notável comprovação desses resultados. Os selvagens que não alcançaram ainda o grau de evolução suficiente para contar com os dedos estão quase completamente disprovidos de toda noção de número. Os habitantes da selva da África do Sul não possuem outras palavras numéricas além de um, dois e muitos, e ainda essas palavras estão desvinculadas que se pode duvidar que os indígenas lhes atribuam um sentido bem claro.
Realmente não há razões para crer que nossos remotos antepassados estivessem mais bem equipados, já que todas as linguagens européias apresentam traços destas antigas limitações: a palavra inglesa thrice, do mesmo modo que a palavra latina ter, possui dois sentidos: "três vezes" e "muito". Há evidente conexão entre as palavras latinas tres (três) e trans (mais além). O mesmo acontece no francês: trois (três) e très (muito).
Como nasceu o conceito de número? Da experiência? Ou, ao contrário, a experiência serviu simplesmente para tornar explícito o que já existia em estado latente na mente do homem primitivo? Eis aqui um tema apaixonante para discussão filosófica.
Julgando o desenvolvimento dos nossos ancestrais pelo estado mental das tribos selvagens atuais, é impossível deixar de concluir que sua iniciação matemática foi extremamente modesta. Um sentido rudimentar de número, de alcance não maior que o de certos pássaros, foi o núcleo do qual nasceu nossa concepção de número. Reduzido à percepção direta do número, o homem não teria avançado mais que o corvo assassinado pelo senhor feudal. Todavia, através de uma série de circunstâncias, o homem aprendeu a completar sua percepção limitada de número com um artifício que estava destinado a exercer influência extraordinária em sua vida futura. Esse artifício é a operação de contar, e é a ele que devemos o progresso da humanidade.
O número sem contagem
Apesar disso, ainda que pareça estranho, é possível chegar a uma idéia clara e lógica de número sem recorrer a contagem. Entrando numa sala de cinema, temos diante de nós dois conjuntos: o das poltronas da sala e o dos espectadores. Sem contar, podemos assegurar se esses dois conjuntos têm ou não igual número de elementos e, se não têm, qual é o de menor número. Com efeito, se cada assento está ocupado e ninguém está de pé, sabemos sem contar que os dois conjuntos têm igual número. Se todas as cadeiras estão ocupadas e há gente de pé na sala, sabemos sem contar que há mais pessoas que poltronas.
Esse conhecimento é possível graças a um procedimento que domina toda a matemática, e que recebeu o nome de correspondência biunívoca. Esta consiste em atribuir a cada objeto de um conjunto um objeto de outro, e continuar assim até que um ou ambos os conjuntos se esgotem.
A técnica de contagem, em muitos povos primitivos, se reduz precisamente a tais associações de idéias. Eles registram o número de suas ovelhas ou de seus soldados por meio de incisões feitas num pedaço de madeira ou por meio de pedras empilhadas. Temos uma prova desse procedimento na origem da palavra "cálculo", da palavra latina calculus, que significa pedra.
A idéia de correspondência
A correspondência biunívoca resume-se numa operação de "fazer corresponder". Pode-se dizer que a contagem se realiza fazendo corresponder a cada objeto da coleção (conjunto), um número que pertence à sucessão natural: 1,2,3...
A gente aponta para um objeto e diz: um; aponta para outro e diz: dois; e assim sucessivamente até esgotar os objetos da coleção; se o último número pronunciado for oito, dizemos que a coleção tem oito objetos e é um conjunto finito. Mas o homem de hoje, mesmo com conhecimento precário de matemática, começaria a sucessão numérica não pelo um mas por zero, e escreveria 0,1,2,3,4...
A criação de um símbolo para representar o "nada" constitui um dos atos mais audaciosos da história do pensamento. Essa criação é relativamente recente (talvez pelos primeiros séculos da era cristã) e foi devida às exigências da numeração escrita. O zero não só permite escrever mais simplesmente os números, como também efetuar as operações. Imagine o leitor - fazer uma divisão ou multiplicação em números romanos! E no entanto, antes ainda dos romanos, tinha florescido a civilização grega, onde viveram alguns dos maiores matemáticos de todos os tempos; e nossa numeração é muito posterior a todos eles.
Do relativo ao absoluto
Pareceria à primeira vista que o processo de correspondência biunívoca só pode fornecer um meio de relacionar, por comparação, dois conjuntos distintos (como o das ovelhas do rebanho e o das pedras empilhadas), sendo incapaz de criar o número no sentido absoluto da palavra. Contudo, a transição do relativo ao absoluto não é difícil.
Criando conjuntos modelos, tomados do mundo que nos rodeia, e fazendo cada um deles caracterizar um agrupamento possível, a avaliação de um dado conjunto fica reduzida à seleçào, entre os conjuntos modelos, daquele que possa ser posto em correspondência biunívoca com o conjunto dado.
Começou assim: as asas de um pássaro podiam simbolizar o número dois, as folhas de um trevo o número três, as patas do cavalo o número quatro, os dedos da mão o número cinco. Evidências de que essa poderia ser a origem dos números se encontram em vários idiomas primitivos.
É claro que uma vez criado e adotado, o número se desliga do objeto que o representava originalmente, a conexão entre os dois é esquecida e o número passa por sua vez a ser um modelo ou um símbolo. À medida que o homem foi aprendendo a servir-se cada vez mais da linguagem, o som das palavras que exprimiam os primeiros números foi substituindo as imagens para as quais foi criado. Assim os modelos concretos iniciais tomaram a forma abstrata dos nomes dos números. É impossível saber a idade dessa linguagem numérica falada, mas sem dúvida ela precedeu de vários milhões de anos a aparição da escrita.
Todos os vestígios da significação inicial das palavras que designam os números foram perdidos, com a possível excessão de cinco (que em várias línguas queria dizer mão, ou mão estendida). A explicação para isso é que, enquanto os nomes dos números se mantiveram invariáveis desde os dias de sua criação, revelando notável estabilidade e semelhança em todos os grupos linguísticos, os nomes dos objetos concretos que lhes deram nascimento sofreram uma metamorfose completa.

Fonte: Dicionário Enciclopédico Conhecer - Abril Cultural
somatematica.com.br

Conjectura de Goldbach
Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.


Ilustração da conjectura de Goldbach.
A conjectura de Goldbach, proposta pelo matemático prussiano Christian Goldbach, é um dos problemas não resolvidos da Matemática, mais precisamente da Teoria dos Números, mais antigos atualmente.
Ela diz que todo número par maior ou igual a 4 é a soma de dois primos.
Por exemplo: 4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 5 + 3; 10 = 3 + 7 = 5 + 5; 12 = 5 + 7; etc.
Verificações por computador já confirmaram a conjectura de Goldbach para vários números. No entanto, a efetiva demonstração matemática ainda não ocorreu.
O melhor resultado até agora foi dado por Olivier Ramaré em 1995: todo número par é a soma de até 6 números primos.

Origem
EM 7 de junho de 1742, o matemático prussiano Christian Goldbach escreveu uma carta a Leonhard Euler (carta XLIII) [1], onde ele propôs a seguinte conjectura:
« Todo inteiro par maior que 2 pode ser escrito como a soma de 3 números primos.»
(Goldbach em carta a Euler )
Ele considerava o número 1 como sendo primo, que uma convenção posterior (e presente até hoje) abandonou. Uma visão moderna da Conjectura (e a mais aceita) é:
Todo inteiro par maior que 5 pode ser escrito como a soma de 3 números primos.
Euler, se interesssando pelo problema, respondeu que a conjectura era equivalente à outra:
« Todo inteiro par maior que 2 pode ser escrito como a soma de 2 números primos. »
( Euler respondendo a Goldbach )
Euler adicionou, ainda, que estava absolutamente certo sobre isso, porém não era capaz de prová-lo.
A versão de Euler é a mais conhecida e divulgada atualmente, também a mais aceita, por ser mais simples e abrangente.

O último teorema de Fermat

No início do século XVII, a maior parte dos matemáticos eram amadores, o que não impediu o aparecimento de figuras decisivas para um período dos mais cruciais para a história da matemática. A França, durante o segundo terço deste século, constitui o centro, por excelência, da matemática. As figuras principais foram Descartes, Fermat, Torricelli (Gilles Persone de Roberval), Desargues, Pascal e Mersenne (Boyer, 1996).
A atividade destes matemáticos, num período em que não existiam revistas científicas, tinha por base círculos de discussão e uma constante correspondência. De certa forma, em oposição às universidades, que se mantinham fiéis ao escolástico medieval surgem academias, à volta dos grupos de discussão de homens cultos que, pelo contrário, exprimiam o novo espírito de investigação (Struik, 1989).
O padre Mersenne (1588-1648) desempenhou um papel de grande importância. Lutou contra a atmosfera de segredo, encorajando todos os matemáticos a exporem as suas idéias. Contribuiu assim, de modo decisivo, para o desenvolvimento de uma ciência que estava em risco de permanecer oculta nos manuscritos secretos de cada matemático (Singh, 1998).
A matemática desenvolve-se mais em termos de lógica interna do que sob a acção de forças econômicas, sociais ou técnicas (Boyer, 1996). A atividade dos matemáticos estendeu-se a muitos campos. Enriqueceram os assuntos clássicos com resultados originais, lançaram novas luzes sobre campos antigos e criaram mesmo novos temas de pesquisa matemática. Um exemplo do primeiro caso foi a teoria dos números estudada por Fermat num livro de Diofanto; um exemplo do segundo caso foi a nova interpretação da geometria; a teoria matemática das probabilidades foi uma criação inteiramente nova. Contudo, os grandes desenvolvimentos da matemática, aconteceram na geometria analítica e na análise infinitesimal (Struik, 1989).
Com a morte de Desargues em 1661, de Pascal em 1662 e de, Fermat em 1665 encerrou-se um grande período da matemática francesa (Boyer, 1996).



Pierre de Fermat nasceu em Agosto de 1601, na cidade de Beaumont-de-Lomagne, em França, e morreu em Janeiro de 1665, em Castres (também em França).
O pai, Dominique Fermat, era um rico mercador, o que lhe permitiu proporcionar ao filho uma educação esmerada. Primeiro, estudou no Mosteiro Franciscano de Grandselve, frequentou em seguida a Universidade de Toulouse e, mais tarde, licenciou-se em Direito na Universidade de Orléans.
Por influências familiares, Fermat seguiu a carreira de funcionário público, tornando-se um magistrado muito conceituado. Mais tarde, ascendeu à posição de conselheiro do rei no Parlamento de Toulouse. Quando um cidadão queria interpor um requerimento ao monarca, sobre qualquer assunto, primeiro tinha que convencer Fermat da importância do seu pedido.
Por volta de 1652, Fermat foi atingido pela peste que, nesta altura, devastava toda a Europa. Ficou tão doente que chegou a ser anunciada a sua morte. Por ser de temperamento pacato e tentar evitar chamar as atenções sobre si, adoptou a estratégia de ficar a maior parte do seu tempo recolhido em casa, onde se entretinha com a literatura clássica e com o estudo da Matemática. Não se interessava por polêmicas, não tinha apetite de glória, não se preocupava com prioridades das suas descobertas, não procura mesmo publicar os seus resultados. Na verdade, Fermat era um verdadeiro amador e não um matemático profissional.
Curiosamente, quando Julian Coolidge escreveu A Matemática dos Grandes Amadores, exclui Fermat com a justificação de que ele era «realmente tão grande que deveria ser considerado profissional». (Singh, 1998)
Marin Mersenne (1588-1648), um grande amigo de Fermat, foi um grande impulsionador da matemática, servindo como centro de distribuição de informação, através da correspondência trocada com outros matemáticos, pois gostava de espalhar as últimas descobertas e era contra a atmosfera de segredo tradicional. Mersenne parece ter sido o seu único contacto regular com matemáticos.
Mersenne tentou encorajar Fermat a publicar os seus trabalhos e as suas demonstrações, mas este recusou sempre. Para ele, a publicação e o reconhecimento nada significavam. Ficava satisfeito com o simples prazer de criar novos teoremas.
Não é pois de estranhar que a sua obra tenha ficado quase toda registrada na sua numerosa correspondência com os outros matemáticos da época, em textos não publicados, em notas marginais e comentários escritos em livros. O desenvolvimento dedutivo é muito restrito. A maior parte das vezes, fermat limita-se a deixar uma série de teoremas cujas demonstrações eram conhecidas, quanto muito, só por ele.
Fermat tinha também um lado provocador quando comunicava com os outros matemáticos. Escrevia cartas expondo os seus teoremas, mas sem a respectiva demonstração. Desafiava-os a encontrarem a prova, e nunca revelava as suas demonstrações. Descartes chamava-o «um gabarola» e John Wallis referia-se-lhe como «esse maldito francês».
Ao restaurar o livro Plane Loci (Lugares Planos) de Apolónio, baseando-se na Colecção Matemática de Papus, Fermat descobriu 'o princípio fundamental da geometria analítica'.
Fermat esteve profundamente envolvido na fundação de outra área da matemática, o cálculo infinitesimal. As consequências do seu trabalho ajudaram a revolucionar a ciência, permitindo aos cientistas compreender melhor o conceito de velocidade e a sua relação com a aceleração. O próprio Newton (1642-1727), que foi quem desenvolveu e aprofundou esta área da matemática, baseou a sua teoria no método de traçar tangentes de Fermat.
Influenciado pela leitura de uma cópia da Arithmetica de Diofanto, traduzida por Claude de Bachet (1591-1639), Fermat conheceu as propriedades e as relações entre os números, que o atraíram e fascinaram levando-o a desenvolver o que hoje chamamos a teoria dos números.
A única ocasião em que Fermat discutiu ideias com outra pessoa, excepto Mersenne, foi por volta de 1655, na troca de cartas com Pascal (1623-1662). Desta correspondência vai nascer um ramo inteiramente novo da matemática - a teoria das probabilidades. Pascal também insistiu com Fermat para que publicasse o seu trabalho, ao que este lhe respondeu:
Mesmo que o meu trabalho seja julgado merecedor de publicação, não quero que o meu nome apareça nele. (Singh, 1998)
Fermat, também, enunciou o que é hoje conhecido como o princípio de Fermat da óptica: ao percorrer a distância entre dois pontos, a luz segue sempre o trajecto mais rápido. Na altura este princípio não foi bem aceite pelos outros matemáticos.
O acesso à obra de Fermat fez-se, sobretudo, através das notas que foi deixando nas margens dos livros da sua biblioteca e da correspondência partilhada com outros matemáticos. A nota mais célebre que Fermat deixou foi a que escreveu na margem do livro Arithmetica, onde enunciava a proposição: " Não é possível determinar x, y, z e n números inteiros positivos, com n>2 tal que xn+yn=zn", que ficou conhecida como 'O Último Teorema de Fermat'.
Fermat pode, com perfeita justiça, ser considerado o príncipe e patrono dos apaixonados pela matemática. (Guzman, 1990)



Foi depois de ler uma série de observações e problemas relativos ao Teorema de Pitágoras e aos triplos pitagóricos, que Fermat olhou mais atentamente para a equação: x2+y2=z2, que tem infinitas soluções e a modificou de modo a obter uma muito semelhante. Passou a considerar uma nova equação em que o expoente era maior do que dois e chegou à proposição: xn+yn=zn, com n>2 e x, y ,z e n inteiros positivos, não tem soluções.
Fermat não formalizava as suas conclusões. Contentava-se em rabiscar o que era necessário para se recordar de que tinha encontrado uma solução. Muitas vezes usava as margens dos livros para esboçar um comentário, um raciocínio, um pensamento ou alguma nota que achasse mais interessante.
Junto do problema que suscitou aquela nova proposição escreveu, então, a seguinte nota:
"É impossível para um cubo ser escrito como a soma de dois cubos ou uma quarta potência ser escrita como a soma de duas quartas potências ou, em geral, para qualquer número que é uma potência maior do que a segunda, ser escrito como a soma de duas potências com o mesmo expoente." (Singh, 1998, p. 82)
Contudo, não apresenta nenhuma demonstração e, na margem do livro, acrescenta apenas:
Descobri uma demonstração maravilhosa desta proposição que, no entanto, não cabe nas margens deste livro. (Aczel, 1997)
Este resultado correu o risco de cair no esquecimento, pois Fermat nunca o revelou aos matemáticos seus contemporâneos. Não fosse o seu filho mais velho perceber a importância das notas escritas pelo pai no exemplar da Arithmetica, reuni-las e publica-las numa edição especial, a Arithmetica de Diofanto Contendo Observações por P. de Fermat, em 1670, não teríamos tomado conhecimento da sua existência. As 48 observações apresentadas neste livro não estavam acompanhadas da respectiva demonstração, mas acabaram por ser provadas, uma após outra, sendo esta, a última. Por esta razão, ficou conhecida como 'O Último Teorema de Fermat' (Singh, 1998).
Capa da edição especial com as notas de Fermat
A página que contém a famosa observação
Este misterioso comentário manteve gerações de matemáticos ocupados. Durante os séculos seguintes, tentou-se encontrar, de algum modo, uma demonstração da proposição ou constatar que era falsa, o que não aconteceu até 1994. Se Fermat tinha realmente uma demonstração, ninguém sabe. O que sabemos actualmente, é que a demonstração encontrada requer métodos que não estavam disponíveis no século XVII. Mas quer Fermat tenha notado qualquer coisa que escapou a toda agente desde então, quer se tenha iludido a si próprio, a sua observação quase casual, foi responsável por uma vasta quantidade de matemática, como por exemplo, a descoberta da teoria dos Anéis Comutativos.
De Fermat, conhece-se apenas um esboço de demonstração para n=4. Euler conseguiu uma demonstração para n=3 e o caso n=5 foi provado por Dirichlet, em 1828 e por Legendre, em 1830. Em 1832, Dirichlet prova o resultado para n=14 e em 1839, Gabriel Lamé sugeriu uma demonstração para n=7, mas não estava completamente certa. Sophie Germain provou que se p é primo ímpar menor que cem, a equação não tem solução em inteiros não divisíveis por p. Kummer demonstra o último teorema de Fermat para expoentes n que são primos regulares (inclui todos os primos menores que 100 excepto o 37, 59, 67). Em 1980, Wagstaff mostra que o teorema é válido para todo o n até 125 000 (Stewart, 1995).
Kummer, em 1847, na tentativa de demonstrar o 'Último Teorema de Fermat', criou o método dos divisores complexos, a que chamou números complexos ideais, contribuindo para o desenvolvimento da teoria dos números (Dantzig, s.d.).
Em 1983, Gerd Faltings descobre que para todo o n>3, a existirem soluções da equação de Fermat, estas são em número finito e mais tarde, D. R. Heath-Brown provou que a proporção de inteiros positivos n para os quais a equação não tem soluções, tende para 100% quando n aumenta (Stewart, 1995).
O 'Último Teorema de Fermat' alcançou grande popularidade pela sua resistência aos poderosos métodos de demonstração da teoria dos números e por ter sido objecto de vários concursos públicos que envolviam avultadas recompensas. Por exemplo, em 1908, o professor Paul Wolfskehl da Real Academia de Göttingen, Alemanha, oferecia um prémio de 100 000 marcos à primeira pessoa que desse uma demonstração completa da conjectura de Fermat. Devido à inflação que se seguiu à 1ª Grande Guerra Mundial, o valor económico deste prémio ficou reduzido a quase nada. Todos os anos, eram enviadas para a Academia, um grande número de «soluções» incorrectas, incluindo algumas de matemáticos profissionais, que chegaram mesmo a publicá-las. Sem excepção, em todas elas foram descobertas algumas falhas (Courant & Robbins, 1958).
Em 1920, quando perguntaram a Hilbert, porque não tentava descobrir uma demonstração, ele respondeu: "Antes de começar, deveria passar três anos a estudar intensamente, e não tenho assim tanto tempo para desperdiçar num provável fracasso." (Stewart, 1995)

No dia 23 de Junho de 1993, após sete anos de trabalho, o matemático Andrew Wiles anuncia, numa conferência do Sir Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences em Cambridge, ter encontrado uma demonstração para o resultado enunciado por Fermat mas, pouco tempo depois, é verificada uma pequena falha. Wiles retira-se durante mais um ano e, finalmente, surge com a demonstração reformulada. Em Novembro de 1994, depois de alguns meses de apreciação das 200 páginas, a sua demonstração é definitivamente aceite. Trata-se de uma demonstração de tal forma técnica que apenas algumas dezenas de matemáticos em todo o mundo estarão em condições de seguir o raciocínio (Aczel, 1997).
Andrew Wiles na conferência em Cambridge

"O 'Último Teorema de Fermat' é um exemplo de um teorema tão bom, que até os seus fracassos têm enriquecido a matemática de uma forma impossível de quantificar." (Stewart, 1995)

Existem disponíveis outros sites, onde se podem encontrar histórias que envolvem 'O Último Teorema de Fermat' e o desafio pessoal que a sua demonstração constituiu para Andrew Wiles.

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